Binarny/dwójkowy system liczenia

Leon Orlikowski

        Binarny/dwójkowy system liczenia

Podstawą, na której opiera się technika informatyczna jest binarny system liczenia. W binarnym systemie liczenia wszystkie liczby  tworzone są z  dwóch cyfr:  0  oraz 1, a kolejne miejsca usytuowania owych 1 w liczbie binarnej w kierunku od jej końca (od strony prawej) do początku (w kierunku do strony lewej) określają coraz większe jej wartości. Największą wartość w liczbie systemu binarnego L₂ ma cyfra 1, od której rozpoczyna się zapis  liczby według następującej funkcji  w dziesiętnym systemie liczenia:

                                               L₁₀  =  C_(0,1) . 2^i-1

Wartości kolejnych cyfr 1 są określone ich usytuowaniem w liczbie binarnej, czyli według wskaźnika wykładniczego i. Natomiast cyfry 0 są zerowe, nie mają  przyporządkowanej wartości, podobnie jak w dziesiętnym systemie liczenia. Współczynnik C w kolejnych etapach transformacji liczby dziesiętnej L₁₀ w liczbę binarną L₂ przybiera wartość  C = 1, gdy transformowana wartość binarna mieści się w reszcie liczby dziesiętnej: np. dla etapu drugiego w poniższym  algorytmie transformacji liczby systemu dziesiętnego L₁₀ w system binarny L₂ owa reszta wynosi 41 a transformowana wartość liczby binarnej wynosi: Cx2⁵ = 1×2⁵ = 1×32, czyli cyfra binarna C = 1. Natomiast dla etapu trzeciego nie ma wartości dla liczby binarnej, bo reszta liczby dziesiętnej wynosi 9 a nie 16 = 2⁴ lub więcej. Dlatego dla etapu trzeciego  wyliczenie cyfry binarnej wynosi:  Cx2⁴ = 0x2⁴ = 0x16 , czyli C =  0.

Wartości najniższych liczb dziesiętnych w systemie liczb binarnych:

0₁₀ = 0x2⁰ = 0₂;                                                                                                                                                                                                                                                                            1₁₀ = 1×2⁰ = 1₂;                                                                                                                                                                                                                                                                     2₁₀ = 1×2¹ + 0x2⁰ = 10₂ + 0₂ = 10₂;   lub też jako suma jedynek (1₂):       2₁₀ = 1×2⁰ + 1×2⁰ = 1₂ + 1₂ = 10₂                                                                                                                                 3₁₀ = 1×2¹ +1×2⁰ =10₂ + 1₂ = 11₂;     lub też jako suma jedynek (1₂):                                                               3₁₀ = 1×2⁰ + 1×2⁰ + 1×2⁰ = (1₂ + 1₂)  + 1₂ = (10₂) + 1₂ = 11₂;                                                                        4₁₀ = 1×2² + 0x2¹ + 0x2⁰ = 100₂ + 0₂ + 0₂ = 100₂;                                                                                                                                                                                                                                         5₁₀ = 1×2² + 0x2¹  + 1×2⁰ = 100₂ + 0₂ + 1₂ = 101₂ 

Algorytm transformacji liczby systemu binarnego L₂ w dziesiętny L₁₀

1101001  =  1×2⁶ + 1×2⁵ + 0x2⁴ + 1×2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1×2⁰

                 = 1×64 + 1×32 + 0x16 + 1×8 +0x4 + 0x2 + 1×1 = 105₁₀

Algorytm transformacji liczby systemu dziesiętnego L₁₀ w binarny L₂

Liczba w L₁₀ ! Transformacja w L₂  ! Reszta (1 – 2) ! Lokata cyfry binarnej w L₂

1           !                 2                   !             3       !                  4

105   !        64 = 1×2⁶        !            41     !                  1₇

41   !        32 = 1×2⁵        !              9     !                  1₆

9   !            0 = 0x2⁴       !              9     !                  0₅

9   !            8 = 1×2³       !              1     !                  1₄

1    !           0 = 0x2²       !              1     !                  0₃

1    !           0 = 0x2¹          !                    1     !                  0₂

1  !            1 = 1×2⁰       !               0    !                  1₁

X    ! L₁₀ = 105 (suma)               !            X       ! L₂ = 1101001

L₁₀  = 1×2⁶ + 1×2⁵ + 0x2⁴ + 1×2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1×2⁰  =  64+32+0+8+0+0+1 = 105

                            Dodawanie liczb binarnych

0 + 0 = 0;         0 + 1 = 1;          1 + 1 = 10;        10 + 10 = 100;     10 + 11 = 101;

11 + 11 = 110;     101 + 11 = 100;   101 + 101 = 1010;             110 + 110 = 1100;

110 + 101 = 1011;                  110 + 111 = 1101;                           101+ 111 = 1100;

111 + 111 = 1110;                  1111 + 1111 =  11110, a w transformacji na L₁₀ jest:

1111 =  1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰  =  8 + 4 + 2 + 1  =  15

+    1111  =  1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰  =  8 + 4 + 2 + 1  =  15

=  2×2³ + 2×2² + 2×2¹ + 2×2⁰ +  =  2×8 + 2×4 + 2×2 + 2×1 = 30

11110 =    1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0x2⁰ =  16    +   8     +    4    +  2  +  0     =    30

 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1101001     1×2⁶+1×2⁵+0x2⁴+1×2³+0x2²+0x2¹+1×2⁰            64 + 32 + 8 + 1             105

+   1001                         +  1×2³+0x2²+0x2¹+1×2⁰                        +   8 + 1               +  9

_______              ___________________________                  ____________                 ____

1110010     1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+0x2³+0x2²+1×2¹+0x2⁰            64 + 32 + 16 + 2           + 0 114

Odejmowanie liczb binarnych

1101001     1×2⁶+1×2⁵+0x2⁴+1×2³+0x2²+0x2¹+1×2⁰    64 + 32 +  8 + 1          105

–     1001                       –    1×2³-0x2²-0x2¹ -1×2⁰                              –   8  – 1                – 9

________                  _______________________                       ____________        ________

1100000     1×2⁶+1×2⁵+0x2⁴+0x2³+0x2²+0x2¹+0x2⁰  64 + 32 + 0  + 0              96

Odejmowanie z pożyczaniem cyfry

   0101      

 1101001    1×2⁶+1×2⁵+0x2⁴+1×2³+0x2²+0x2¹+1×2⁰      64 + 32 + 8 + 1                  105

–      1010                        –  1×2³-0x2²– 1×2¹-0x2⁰                           – 8 – 2                  10

__________      ________________________________          ___________           ___________

1011111    1×2⁶+0x2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰           64+16+8+4+2+1             95

Mnożenie w systemie binarnym jest wykonywane na zasadzie wielokrotnego równego wartości mnożnika dodawania  wartości  liczby mnożnej.

Dzielenie zaś jest realizowane poprzez wielokrotne odejmowanie od liczby dzielonej wartości liczby dzielnika dopóty, dopóki z liczby dzielonej pozostanie reszta mniejsza od wartości dzielnika względnie liczba dzielona wydzieli się bez reszty. Wielokrotność odejmowania dzielnika od dzielnej plus jeden jest równa ilorazowi.